Question

已知函數(shù)，其中m＞0．
（1）若m=1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點處切線的斜率k≤2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．當m=1，利用導數(shù)的運算法則，解出f′（x）＜0即可．
（2）對任意的x∈（0，3]恒成立，?m≥x²-2x對任意的x∈（0，3]恒成立?m≥（x²-2x）_max
（3）利用導數(shù)得出y=f（x）在（0，+∞）上有極小值（也就是最小值），若函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有兩個零點，而，可得解得即可．
解答：解：（1）由已知得，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
當m=1，，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間 （0，1）．
（2）對任意的x∈（0，3]恒成立，
∴m≥x²-2x對任意的x∈（0，3]恒成立∴m≥（x²-2x）_max
而當x=3時，x²-2x取最大值為3，∴m≥3．
（3），且m＞0；
，，
∴y=f（x）在上遞減；
而在上遞增．
∴y=f（x）在（0，+∞）上有極小值（也就是最小值），
若函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有兩個零點，
而，
∴解得，
實數(shù)m的取值范圍  ．
點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值是解題的關鍵．