Question

已知P是雙曲線C：

x2

16

-

y2

9

=1一點，F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點，且cos∠F₁PF₂=

2

3

，則△F₁PF₂的面積為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據雙曲線定義得到|m-n|=2a=8，結合cos∠F₁PF₂=

2

3

，可得m²+n²-2mn×

2

3

=（2c）²=100，求出|PF₁|與|PF₂|的長，即可得到結論，

解答： 解：∵P在雙曲線上，設|PF₁|=m；|PF₂|=n，
∴|m-n|=2a=8…（1）
由cos∠F₁PF₂=

2

3

，可得m²+n²-2mn×

2

3

=（2c）²=100…（2）
（1）²-（2）得：mn=54，
∵cos∠F₁PF₂=

2

3

，
∴sin∠F₁PF₂=

5

3

，
∴△F₁PF₂的面積為

1

2

×54×

5

3

=9

5

．
故答案為：9

5

．

點評：本題主要考查雙曲線的基本性質．在涉及到與焦點有關的題目時，一般都用定義求解．