Question

9．已知f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a≥2，求f（a²）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）最小值是2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a≥2，f（a²）=2（a-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，即可求f（a²）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）最小值是2，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵a≥2，∴a²＞a，
∵f（x）=|x-1|+|x-a|，∴f（a²）=2a²-a-1，即f（a²）=2（a-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$．
∴f（a²）_min=5．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2|x-1|，f（x）_min=0，舍．…（6分）
當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+a+1，}&{x＜a}\\{1-a，}&{a≤x≤1}\\{2x-a-1，}&{x＞1}\end{array}\right.$，∴f（x）_min=1-a，…（7分）
由題意，1-a=2，∴a=-1．…（8分）
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+a+1，}&{x＜1}\\{a-1，}&{1≤x≤a}\\{2x-a-1，}&{x＞a}\end{array}\right.$，∴f（x）_min=a-1，
∴a-1=2，∴a=3．…（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查記不住不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．