Question

（2006•豐臺區(qū)二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長2，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，D，E分別為AA₁，AB的中點．
（Ⅰ）求異面直線A₁B₁和C₁D所成的角；
（Ⅱ）求證A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）求點D到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

分析：通過建立空間直角坐標系利用向量的數(shù)量積即可得出異面直線所成的角、向量垂直、點到直線的距離．

解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標系．
則C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），E（1，1，0），A₁（0，2，2），B₁（2，0，2），C₁（0，0，2），D（0，2，1）．
∵

C1D

=（0，2，-1），

A1B1

=（2，-2，0）．
∴cos＜

C1D

，

A1B1

＞=

C1D • A1B1

| C1D | | A1B1 |

=

-4

5 × 8

=-

10

5

．
（II）∵

A1E

=(1，-1，-2)，
∴

A1E

•

C1D

=0-2+2=0，∴

A1E

⊥

C1D

，
∴A₁E⊥C₁D．
（III）∵

C1B1

=（2，0，0），

C1E

=（1，1，-2）．
設平面B₁C₁E的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • C1B1 =2x=0 n • C1E =x+y-2z=0

，令y=2，則x=0，z=1．
∴

n

=(0，2，1)．
∴點D到平面B₁C₁E的距離d=

| n • C1D |

| n |

=

3

5

=

3 5

5

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系利用向量的數(shù)量積即可得出異面直線所成的角、向量垂直、點到直線的距離等是解題的關鍵．