Question

設的所有排列的集合為；，記
，；求．（其中表示集合的元素個數）．

Answer 1

：我們一般地證明，若，對于前個正整數的所有排列構成的集合，若，，則．

下面用數學歸納法證明：．
當時，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是
．又，，
，
，所以，=共有11=個元素．因此，時命題成立．假設命題在（）時成立；考慮命題在時的情況．對于的任一排列，恒取，得到的一個排列，
則．由歸納假設知，此時取遍區(qū)間
上所有整數．
再令，則，
再由歸納假設知，取遍區(qū)間
上的所有整數．
因為，所以，取遍區(qū)間
上的所有整數．即命題對也成立．由數學歸納法知，命題成立．
由于 ，從而，集合
的元素個數為．特別是，當時，．