Question

（理）在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．
求：
（1）頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離；
（2）二面角B-AC-B'的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為
A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A'（1，0，1）、B'（1，2，1）、D'（0，0，1）．
設(shè)平面B'AC的法向量為，則，．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/41731.png' />，，，，
所以解得u=2v，w=-2v，取v=1，得平面B'AC一個(gè)法向量，
且．
在平面B'AC取一點(diǎn)A，可得，于是頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離，
所以頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離為，
（2）因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量為，設(shè)與的夾角為α，則，
結(jié)合圖形可判斷得二面角B-AC-B'是一個(gè)銳角，它的大小為．
分析：（1）利用空間向量來(lái)求點(diǎn)到平面的距離，必須先建立空間直角坐標(biāo)系，找到已知點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，再借助點(diǎn)到平面的距離公式來(lái)計(jì)算，其中為平面的法向量，為點(diǎn)D′與平面上任意一點(diǎn)的向量．
（2）欲求二面角的大小，只需求出兩個(gè)平面的法向量的夾角，再借助圖形判斷，法向量的夾角是二面角的夾角，還是其補(bǔ)角．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間距離、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．