Question

8．為了調(diào)查高一新生中女生的體重情況，校衛(wèi)生室隨機(jī)選20名女生作為樣本，測量她們的體重（單位：kg），獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間[40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知樣本中體重在區(qū)間（45，50]上的女生數(shù)與體重在區(qū)間（50，60]上的女生數(shù)之比為4：3．
（1）求a，b的值；
（2）從樣本中體重在區(qū)間（50，60]上的女生中隨機(jī)抽取兩人，求體重在區(qū)間（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率和為1，列方程求出a、b的值；
（2）用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算對應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）樣本中體重在區(qū)間（45，50]上的女生有
a×5×20=100a（人），
樣本中體重在區(qū)間（50，60]上的女生有
（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（人），
依題意，有$100a=\frac{4}{3}×100（{b+0.02}）$，
即$a=\frac{4}{3}×（{b+0.02}）$，①
根據(jù)頻率分布直方圖可知
（0.02+b+0.06+a）×5=1，②
由①②解得a=0.08，b=0.04；
（2）樣本中體重在區(qū)間（50，55]上的女生有
0.04×5×20=4人，分別記為A₁，A₂，A₃，A₄，
體重在區(qū)間（55，60]上的女生有
0.02×5×20=2人，分別記為B₁，B₂，
從這6名女生中隨機(jī)抽取兩人共有15種情況：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁）（A₄，B₂），（B₁，B₂）；
其中體重在（55，60]上的女生至少有一人被抽中共有9種情況：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₄，B₁）（A₄，B₂），（B₁，B₂）；
記“從樣本中體重在區(qū)間（50，60]上的女生中隨機(jī)抽取兩人，
體重在區(qū)間（55，60]上的女生至少有一人被抽中”為事件M，
則$P（M）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖與列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題．