Question

如圖，在四邊形ABCD中，

BC

=λ

AD

(λ∈R），|

AB

|=|

AD

|=2，|

CB

-

CD

|=2

3

，且△BCD是以BC為斜邊的直角三角形．求：
（1）λ的值；
（2）

CB

•

BA

的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知|

BC

|=λ|

AD

| =2λ  ，|

BD

|=2

3

且△ABD是三邊分別為2，2，2

3

的等腰三角形，利用已知條件可得∠ABD=30°，從而可得∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，解直角三角形可得λ
（2）由（1）知，∠ABC=60°，|

CB

|=4，從而可得

CB

與

BA

的夾角120⁰，代入向量的數(shù)量積公式，即可．

解答：（1）因為

BC

=λ

AD

，所以BC∥AD，且|

BC

|=λ|

AD

|．（2分）
因為|

AB

|=|

AD

|=2，所以|

BC

|=2λ．
又|

CB

-

CD

|=2

3

，所以|

BD

|=2

3

．（5分）
作AH⊥BD于H，則H為BD的中點(diǎn)．
在Rt△AHB中，得cos∠ABH=

BH

AB

=

3

2

，于是∠ABH=30°．
所以∠ADB=∠DBC=30°．
而∠BDC=90°，所以BD=BCcos30°，即2

3

=2λ•

3

2

，解得λ=2．（10分）
（2）由（1）知，∠ABC=60°，|

|CB

|=4
所以

CB

與

BA

的夾角為120°．
故

CB

•

BA

=|

CB

|•|

BA

|cos120°=-4．（14分）

點(diǎn)評：本題考查了平面向量共線的條件，向量減法的平行四邊形法則，平面向量的夾角及數(shù)量積的定義，要注意求兩向量的夾角時，一定要保證兩向量共起點(diǎn)，避免夾角的求解錯誤．