在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

（I）詳見解析；（II）二面角E－BC1－D的余弦值為．

解析試題分析：（I）由于EF與BD在同一個(gè)平面內(nèi)，顯然考慮在ABB1A1這個(gè)平面內(nèi)證明這兩條直線平行，這完全就是平面幾何的問題了.取AB的中點(diǎn)M，，所以F為AM的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以.又分別為的中點(diǎn)，，且，所以四邊形為平行四邊形，，，由此可得平面.
（II）取AB的中點(diǎn)M，則MB、MC、MD兩兩垂直，所以可以以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角E－BC1－D的余弦值.
試題解析：（I）證明：取AB的中點(diǎn)M，
，所以F為AM的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以.
在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，
，且，
所以四邊形為平行四邊形，，
，又平面，平面，
所以平面.

（II）以AB的中點(diǎn)M為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，
∴，，．
設(shè)面BC1D的一個(gè)法向量為，面BC1E的一個(gè)法向量為，
則由得取，
又由得取，
則，
故二面角E－BC1－D的余弦值為．       12分
考點(diǎn)：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、空間向量的應(yīng)用；3、二面角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知四邊形與均為正方形，平面平面.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小.

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如圖，在三棱錐中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；
(2)若平面平面，，求證：．

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如圖，已知、、為不在同一直線上的三點(diǎn)，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)為上的動點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)的長.

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在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),N為線段PB的中點(diǎn),G在線段BM上,且

(Ⅰ)求證：AB⊥PD；
(Ⅱ)求證：GN//平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=DB．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面四邊形ABCD中，已知,,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC，設(shè)點(diǎn)F為棱AD的中點(diǎn)．

（1）求證：DC平面ABC；
（2）求直線與平面ACD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖長方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn).

⑴求證：；
⑵如果，求的長.

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