Question

若不等式x²+ax+1≥0對x∈[-1，1]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：分類討論當x=0時，1≥0，成立；當x∈（0，1]時，x+

1

x

+a≥0；當x∈[-1，0）時，x+

1

x

+a≤0，利用函數y=x+

1

x

，單調性求解．

解答： 解：∵不等式x²+ax+1≥0對x∈[-1，1]恒成立，
∴當x=0時，1≥0，成立．
當x∈（0，1]時，x+

1

x

+a≥0，
∵y=x+

1

x

，x∈（0，1]，單調遞減，
∴最小值為2，
∴2+a≥0，
即a≥-2，
當x∈[-1，0）時，x+

1

x

+a≤0，
∵y=x+

1

x

，x∈[-1，0），單調遞減，
∴最大值為-2，
∴-2+a≤0，
即a≤2，
綜上實數a的取值范圍．：-2≤a≤2，

點評：本題考查了不等式在解決不等式恒成立中的應用，屬于中檔題．