Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=3，E為線段SD上的一點．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）若DE=1，求直線SC與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

（本題滿分10分）
解 （1）因為四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥平面ABCD，
所以SD，DC，DA兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系
D-xyz，則各點的坐標為D（0，0，0），A（3，0，0），
B（3，3，0），C（0，3，0），S（0，0，3），…（2分）
設(shè)E（0，0，t） （0≤t≤3），則
=（-3，3，0），=（-3，-3，t）．
所以=-3×（-3）+3×（-3）+0×t=0，
所以，即AC⊥BE； …（5分）
（2）因為DE=1，所以t=1，所以=（0，3，-3），=（-3，3，0），=（-3，0，1）．
設(shè)平面ACE的法向量=（x，y，z），直線SC與平面ACE所成角為θ，
所以•=0，•=0，即-3x+3y=0，-3x+z=0，解得x=y，z=3x．
取x=1，則=（1，1，3），…（8分）
所以•=0×1+3×1+（-3）×3=-6，||=，||=3，
則sinθ=|cos＜，＞|=||==．
所以直線SC與平面ACE所成角的正弦值為． …（10分）
說明：第（1）問：建系設(shè)坐標給（2分），若沒有指出SD，DC，DA兩兩互相垂直，不扣分；寫對，的坐標各給（1分）；
第（2）問：分兩步給分，求出法向量給（3分），求出角的正弦給（2分），若把它當成余弦扣（1分）．
分析：（1）SD，DC，DA兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，求出ABCS點的坐標，設(shè)出E的坐標，求出向量，通過向量的數(shù)量積證明AC⊥BE；
（2）通過DE=1，求出，設(shè)出平面ACE的法向量，通過•=0，•=0，求出，然后利用公式求出直線SC與平面ACE所成角的正弦值．
點評：本題考查直線與直線的垂直的判斷，直線與平面所成角的大小的求法，本題的解題的關(guān)鍵是空間直角坐標系的建立，以及公式的靈活應(yīng)用，考查計算能力，空間想象能力．