已知數(shù)列，滿足：．

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，且．

① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

② 若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次，求首項應滿足的條件．

 

【答案】

（1）

（2）①根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明相鄰兩項的差為定值來得到證明。從第二項起滿足題意即可。

②當，數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次

【解析】

試題分析：解：（1）當時，有

．

又也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是．    4分

（2）①因為對任意的，有，所以，

，

所以，數(shù)列為等差數(shù)列．                    8分

②設（其中為常數(shù)且，

所以，，

即數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列．               10分

設．

（其中為中一個常數(shù)）

當時，對任意的，有；             12分

當時，．

（Ⅰ）若，則對任意的有，所以數(shù)列為遞減數(shù)列；

（Ⅱ）若，則對任意的有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列．

綜上所述，集合．

當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次；

當時，數(shù)列均為單調數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次．     18分

考點：數(shù)列的性質，數(shù)列的概念

點評：主要是考查了等差數(shù)列的概念和數(shù)列的單調性的運用，屬于難度題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、已知數(shù)列an滿足：a4n+1=1，a4n+3=0，a2n=an，n∈N*，則a2011=
0
；a2018=
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=2，
an+1
2an
=1+
1
n
；
（Ⅰ）求數(shù)列an的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Sn，試比較an-Sn與2的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
①命題p：?x0∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題p為真的實數(shù)a的取值范圍為a＜3；
②代數(shù)式sinα+sin(
2
3
π+α)+sin(
4
3
π+α)的值與角α有關；
③將函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
3
)的圖象向左平移
π
3
個單位長度后得到的圖象所對應的函數(shù)是奇函數(shù)；
④已知數(shù)列an滿足：a1=m，a2=n，an+2=an+1-an（n∈N*），記Sn=a1+a2+a3+…+an，則S2011=m；其中正確的命題的序號是
 
 （把所有正確的命題序號寫在橫線上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=
1
4
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
(n≥2，n∈N)
（1）求數(shù)列an的通項公式an；
（2）設bn=
1
a
2
n
，求數(shù)列bn的前n項和Sn；
（3）設cn=ansin
(2n-1)π
2
，數(shù)列cn的前n項和為Tn．求證：對任意的n∈N*，Tn＜
4
7
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=(1+cos2
nπ
2
)an+sin2
nπ
2
，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4；并求證：a2m+1+2=2（a2m-1+2），（m∈N*）；
（2）設bn=
a2n
a2n-1
，Sn=b1+b2+…+bn，求證：Sn＜n+
5
3
．

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