Question

已知圓，圓．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，線段OM交圓C₁于N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于M，過(guò)點(diǎn)N作MM的垂線交MM于P．
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）當(dāng)時(shí)，直線l與軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以表示出或設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)M，N分別在圓C₂，C₁上，即可用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，用“代點(diǎn)法”即可得出；
（2）利用（1）的軌跡C的方程與直線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，由于直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)，必須滿足△＞0即可求出；
（3）利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式即可得出．
解答：解（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）．則M（x，y_M），N（x_N，y）．從而
∵，∴．即．∴．
∵點(diǎn)M在圓C₂上，∴．整理得點(diǎn)P的軌跡C的方程：．
（2）聯(lián)立消y得到x²+2mx+5m²-20=0．
∵直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)，∴△=（2m）²-4（5m²-20）＞0，即m²＜5．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
（3）直線．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立消x得到．
則．

=．
直線．設(shè)O到直線AB的距離為d，則d=．
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程求解問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為△與0的大小比較問(wèn)題、“代點(diǎn)法”、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．