Question

已知點（1，）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=+（n≥2）．記數(shù)列{}前n項和為T_n，
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若對任意正整數(shù)n，當m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt+＞T_n恒成立，求實數(shù)t的取值范圍
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點 是函數(shù)f（x）=a^x的圖象上一點，所以a=，所以f（x）=，即可得到數(shù)列的前3項，進而求出數(shù)列的首項與公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
因為 =，所以數(shù)列{ }是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以得到S_n，利用b_n=S_n-S_n-1求出答案．
（2）利用裂項相消的方法可得：T_n=；進而把原不等式化簡為：當m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt＞0恒成立；設(shè)g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，然后利用函數(shù)的有界性解決恒成立問題即可得到答案．
（3）利用T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，得T_m²=T₁•T_n得到，，最后結(jié)合1＜m＜n知，m=2，n=12即可．
解答：解：（1）因為f（1）=a=，所以f（x）=，
所以 ，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
因為數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，所以 ，所以c=1．
又公比q=，所以 ；
由題意可得：=，
又因為b_n＞0，所以 ；
所以數(shù)列{ }是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，并且有 ；
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；
所以b_n=2n-1．
（2）因為數(shù)列 前n項和為T_n，
所以
=
=；
因為當m∈[-1，1]時，不等式 恒成立，
所以只要當m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt＞0恒成立即可，
設(shè)g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，
所以只要一次函數(shù)g（m）＞0在m∈[-1，1]上恒成立即可，
所以，
解得t＜-2或t＞2，
所以實數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，得T_m²=T₁•T_n
∴，
∴
結(jié)合1＜m＜n知，m=2，n=12（14分）
點評：本題綜合考查數(shù)列、不等式與函數(shù)的有關(guān)知識，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列求通項公式與求和的方法，以及把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．