分析 (1)利用遞推關(guān)系可得:a2,a3.由${a_n}=\frac{n}{n-1}{a_{n-1}}+2n•{3^{n-2}}$,可得$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}+2n•{3^{n-2}}$,利用累加求和方法即可得出.
(2)n∈N*時,${b_n}=\frac{{{3^{n-1}}}}{a_n}=\frac{1}{n}$,則${S_{2^n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^n}$.記函數(shù)$f(n)={S_{2^n}}-n=({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^n}})-n$,可得f(n+1)-f(n)=$(\frac{1}{{2}^{n}+1}+\frac{1}{{2}^{n}+2}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}})$-1<$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$-1<0,因此f(n+1)<f(n).對n分類討論可得結(jié)論:${S_{2^2}}>2$,${S_{2^3}}<3$.n≥3時,f(n)≤f(3)<0,此時${S_{2^n}}<n$.
解答 解:(1)當n=2時,${a_2}=\frac{2}{2-1}{a_{2-1}}+2•2•{3^{2-2}}=2+4=6$,
當n=3時,${a_3}=\frac{3}{3-1}{a_{3-1}}+2•3•{3^{3-2}}=9+18=27$,
因為${a_n}=\frac{n}{n-1}{a_{n-1}}+2n•{3^{n-2}}$,所以$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}+2n•{3^{n-2}}$,
當n≥2時,由累加法得$\frac{a_n}{n}-\frac{a_1}{1}=2+2×3+2×{3^2}+…+2×{3^{n-2}}$,
因為a1=1,所以n≥2時,有$\frac{a_n}{n}=1+\frac{{2({1-{3^{n-1}}})}}{1-3}={3^{n-1}}$,即${a_n}=n•{3^{n-1}}({n≥2})$,又n=1時,${a_1}=1•{3^{1-1}}=1$,
故${a_n}=n•{3^{n-1}}({n∈{N^*}})$.
(2)n∈N*時,${b_n}=\frac{{{3^{n-1}}}}{a_n}=\frac{1}{n}$,則${S_{2^n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^n}$.
記函數(shù)$f(n)={S_{2^n}}-n=({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^n}})-n$,所以$f({n+1})=({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^{n+1}}}}})-({n+1})$,
則f(n+1)-f(n)=$(\frac{1}{{2}^{n}+1}+\frac{1}{{2}^{n}+2}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}})$-1<$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$-1<0,
所以f(n+1)<f(n).
由于$f(1)={S_{2^1}}-1=({1+\frac{1}{2}})-1>0$,此時${S_{2^1}}>1$,$f(2)={S_{2^2}}-2=({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}})-2>0$,此時${S_{2^2}}>2$,$f(3)={S_{2^3}}-3=({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}})-3<0$,此時${S_{2^3}}<3$,
由于f(n+1)<f(n),故n≥3時,f(n)≤f(3)<0,此時${S_{2^n}}<n$.
綜上所述,當n=1,2時,${S_{2^n}}>n$;當n≥3(n∈N*)時,${S_{2^n}}<n$.
點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、累加求和方法、作差法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 120° | B. | 60° | C. | 30° | D. | 150° |
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A. | {x|-2≤x<-1或x≥1} | B. | {x|x≤-2或-1≤x<1} | C. | {x|x≤-2或-1<x≤1} | D. | {x|x≤-2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $-\frac{1}{7}$ | B. | $\frac{1}{7}$ | C. | $-\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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A. | {4} | B. | {3,4} | C. | {0,1,2} | D. | {0,1,2,3,4} |
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A. | -$\frac{3}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | -$\frac{4}{5}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{10}{9}$ | B. | $\frac{10}{3}$ | C. | $\frac{16}{3}$ | D. | 10 |
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