已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，且.
（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為，此時.

解析試題分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個不同的極值點，等價于有兩個不等的實數(shù)根，即有兩個不同的零點和，利用導數(shù)判斷的形狀， ，發(fā)現(xiàn)函數(shù)當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)，故；（Ⅱ），又，故，是自變量為，定義域的函數(shù)，利用導數(shù)求其最值，并計算相應的值．
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，
∴方程有兩個不同的零點，， 令，，當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)，∴ 在時取得最小值．
∴ ．
（Ⅱ）∵，即，∴，于是
， ∴，∵，∴．
∴ 當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)．
∴ 在上的最小值為，此時.
考點：1、導數(shù)在單調(diào)性上的應用；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，現(xiàn)要在邊長為的正方形內(nèi)建一個交通“環(huán)島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為（不小于）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于，繞島行駛的路寬均不小于.

（1）求的取值范圍；（運算中取）
（2）若中間草地的造價為元，四個花壇的造價為元，其余區(qū)域的造價為元，當取何值時，可使“環(huán)島”的整體造價最低？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。
（Ⅰ）求實數(shù)a,b的值；
（Ⅱ）函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍；
(Ⅲ）當c＝e時，討論關于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實根個數(shù)。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中，曲線在點處的切線垂直于軸.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若任取，求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中且．
(Ⅰ) 當，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若時，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個數(shù)；
（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設，其中，曲線在點處的切線垂直于軸.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極值.

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