Question

8．函數(shù)f（x）=2^x+2-3×4^x，x∈（-∞，1）的值域為（-4，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 配方化簡函數(shù)的表達式，設(shè)2^x=t，t∈（0，2），利用二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)t的范圍即可得出y的最大、最小值，從而得出原函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=2^x+2-3×4^x，=4×2^x-3×（2^x）²=-3（2^x-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{4}{3}$；
x∈（-∞，1）；
∴2^x∈（0，2），令2^x=t，t∈（0，2），則y=-3（t-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{4}{3}$；
∴t=$\frac{2}{3}$時，y取最大值$\frac{4}{3}$，t=2時，y取最小值-4；因為t＜2，所以y＞-4
∴-4＜y≤$\frac{4}{3}$；
故答案為：（-4，$\frac{4}{3}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，配方法處理二次式子，換元求函數(shù)值域的方法，注意確定換元后引入新變量的范圍，以及二次函數(shù)值域的求法．