Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

6

，an=

Sn-1

2+3+4+…+n

(n≥2)其中S_n表示數(shù)列的前n項和．
（Ⅰ）分別求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n的表達式，并予以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過關系式，利用n=2，3，4，即可求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）通過觀察a₁，a₂，a₃，a₄的值，猜想求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n的表達式，然后利用數(shù)學歸納法證明．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為a1=

1

6

，an=

Sn-1

2+3+4+…+n

(n≥2)，
所以n=2時a2=

S1

2

=

1

12

，a2=

1

12

，
n=3時a3=

S2

2+3

=

a1+a2

2+3

=

1 6  + 1 12

5

=

1

20

，a3=

1

20

，
n=4時a4=

S3

2+3+4

=

a1+a2+a4

2+3+4

=

1

30

，a4=

1

30

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式an=

1

(n+1)(n+2)

…（5分）
以下用數(shù)學歸納法證明：①n=1時，a1=

1

6

，命題成立；
②假設n=k（k≥1）時成立，即ak=

1

(k+1)(k+2)

成立…（7分）
由已知ak=

Sk-1

2+3+4+…+k

推得：SK-1=(2+3+…+k)•ak=

(k-1)(k+2)

2

•

1

(k+1)(k+2)

=

k-1

2(k+1)

成立…（9分）
那么，當n=k+1時，ak+1=

Sk

2+3+…+k+(k+1)

=

Sk-1+ak

k(k+3) 2

=

k-1 2(k+1) + 1 (k+1)(k+2)

k(k+3) 2

=

k(k+1)

k(k+1)(k+2)(k+3)

=

1

(k+2)(k+3)

則n=k+1時，an=

1

(n+1)(n+2)

也成立．…（14分）
綜上可知，對任意n∈N，an=

1

(n+1)(n+2)

成立．

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列的項的求法，數(shù)學歸納法的證明方法，注意證明中必須利用假設，考查計算能力，邏輯推理能力．