定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界,已知函數(shù)f(x)=1+x+ax2
(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)當(dāng)a=-1時,函數(shù)f(x)=1+x-x
2=-(x-

)
2+

∴f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)增函數(shù),f(x)<f(0)=1
∴f(x)在(-∞,0)上的值域為(-∞,1)
因此|f(x)|的取值范圍是[0,+∞)
∴不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(-∞,0)上的有界函數(shù).
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),
則|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即-3≤f(x)≤3
∴-3≤ax
2+x+1≤3
∴

≤a≤

,即-

-

≤a≤

-

在[1,4]上恒成立,
∴(-

-

)
max≤a≤(

-

)
min,
令t=

,則t∈[

,1]
設(shè)g(t)=-4t
2-t=-4(t+

)
2+

,則當(dāng)t=

時,g(t)的最大值為-

再設(shè)h(t)=2t
2-t=2(t-

)
2-

,則當(dāng)t=

時,h(t)的最小值為-

∴(-

-

)
max=-

,(

-

)
min=-

所以,實數(shù)a的取值范圍是[-

,-

].
分析:(1)當(dāng)a=-1時,函數(shù)表達(dá)式為f(x)=1+x-x
2,可得f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)增函數(shù),它的值域為(-∞,1),從而|f(x)|的取值范圍是[0,+∞),因此不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(-∞,0)上的有界函數(shù).
(2)函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),即-3≤f(x)≤3在[1,4]上恒成立,代入函數(shù)表達(dá)式并化簡整理,得-

-

≤a≤

-

在[1,4]上恒成立,接下來利用換元法結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法,得到(-

-

)
max=-

,(

-

)
min=-

,所以,實數(shù)a的取值范圍是[-

,-

].
點評:本題以一個特定的二次函數(shù)在閉區(qū)間上有界的問題為例,考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和二次函數(shù)在閉區(qū)間上值域等知識點,屬于中檔題.請同學(xué)們注意解題過程中變量分離和換元法求值域的思想,并學(xué)會運用.