Question

15．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA．
（1）求A；
（2）若a=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，又sinC≠0，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍，即可得解A的值．
（2）由已知利用三角形面積公式可求bc=1，利用余弦定理可求得b+c=2，聯(lián)立方程即可得解b，c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知結(jié)合正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，…（2分）
∵sinC≠0，
∴1=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…（4分）
又∵A∈（0，π），
∴A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）S=$\frac{1}{2}$bcsinA，即$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=1，①…（7分）
又∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
即1=（b+c）²-3，且b，c為正數(shù)，
∴b+c=2，②…（10分）
由①②兩式解得b=c=1．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．