已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+
1
2
(b-8)x2-(a+ab)x(a≠0)在x=-3和x=2處取得極值，問：當(dāng)c為何值時(shí)，不等式ax2+bx+c≤0在[1，4]上恒成立？
分析：先由已知條件求出a=-3，b=5，再構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)論．
解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax2+（b-8）x-（a+ab）
∵函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+
1
2
(b-8)x2-(a+ab)x(a≠0)在x=-3和x=2處取得極值
∴-3和2是方程f′（x）=ax2+（b-8）x-（a+ab）=0的兩根
∴
-3+2=
8-b
a
(-3)×2=-
a+ab
a

∴a=-3，b=5，…（6分）
∴不等式ax2+bx+c≤0為-3x2+5x+c≤0
令g（x）=-3x2+5x+c，則g（x）圖象的對稱軸方程為x=
5
6
，所以g（x）在[
5
6
，+∞)上單調(diào)遞減，從而g（x）在[1，4]上也單調(diào)遞減，
故要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，則需g（x）max=g（1）≤0，即-3+5+c≤0，解得c≤-2．
所以當(dāng)c≤-2時(shí)，不等式ax2+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，確定函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案