Question

某地需要修建一條大型輸油管道通過120公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）．經(jīng)預算，修建一個增壓站的工程費用為432萬元，鋪設距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為x³+x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
（1）試將y表示成關于x的函數(shù)；
（2）需要修建多少個增壓站才能使y最��？

Answer 1

分析：（1）設需要修建k個增壓站，則（k+1）x=120，由此能夠求出y與x的函數(shù)關系．
（2）設f(x)=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)，則f′(x)=-

51840

x2

+240x=

240

x2

(x3-216)．由f'（x）＞0，得x³＞216，又0＜x≤120，則6＜x≤120．所以f（x）在區(qū)間（6，120]內為增函數(shù)，在區(qū)間[0，6）內為減函數(shù)．由此求出需要修建19個增壓站才能使y最小．

解答：解：（1）設需要修建k個增壓站，則（k+1）x=120，即k=

120

x

-1．
所以y=432k+(k+1)(x3+x)=432×(

120

x

-1)+

120

x

(x3+x)=

51840

x

+120x2-312．
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤120．
故y與x的函數(shù)關系是y=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)．
（2）設f(x)=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)，則f′(x)=-

51840

x2

+240x=

240

x2

(x3-216)．
由f'（x）＞0，得x³＞216，
又0＜x≤120，則6＜x≤120．
所以f（x）在區(qū)間（6，120]內為增函數(shù)，在區(qū)間[0，6）內為減函數(shù)．
所以當x=6時，f（x）取最小值，此時k=

120

x

-1=

120

6

-1=19．
故需要修建19個增壓站才能使y最小．

點評：本題考查解函數(shù)在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意導數(shù)的靈活運用．