Question

已知函數(shù)f（x）=（x³+2x²+3x+t）e^-x，t∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，求t的取值范圍．
（2）若存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[-5，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為f′（x）＜0在區(qū)間[-1，2]恒成立，令g（x）=x³+5x²+7x+t+3，只需g（x）＜0在區(qū)間[-1，2]恒成立，通過求導(dǎo)得出g（x）在區(qū)間[-1，2]的最大值為g（2）=45+t＜0即可，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式0≤xe^x-x³-2x²-3x在x∈[-5，m]上恒成立，得不等式組

x≥0 ex≥x2+2x+3

或

x≤0 ex≤x2+2x+3

，令m（x）=e^x，n（x）=x²+2x+3，畫出函數(shù)的圖象，取m的整數(shù)值代入即可求出．

解答： 解：（1）∵f′（x）=e^-x（x³+5x²+7x+t+3），
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，
只需f′（x）＜0在區(qū)間[-1，2]恒成立，
令g（x）=x³+5x²+7x+t+3，
∴只需g（x）＜0在區(qū)間[-1，2]恒成立，
又g′（x）=3x²+10x+7=（3x+7）（x+1），
在[-1，2]上時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在區(qū)間[-1，2]遞增，
∴g（x）在區(qū)間[-1，2]的最大值為g（2）=45+t＜0即可，
∴t＜-45；
（2）不等式f（x）≤x，即（x³+2x²+3x+t）e^-x≤x，
即t≤xe^x-x³-2x²-3x，
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[-5，m]，
不等式t≤xe^x-x³-2x²-3x恒成立，
即不等式0≤xe^x-x³-2x²-3x在x∈[-5，m]上恒成立，
∴只需

x≥0 ex≥x2+2x+3

或

x≤0 ex≤x2+2x+3

，
令m（x）=e^x，n（x）=x²+2x+3，
畫出m（x），n（x）的圖象，如圖示：
，
顯然m的最大值大于0，
m=1時(shí)，m（1）=e＜n（1）=6，
m=2時(shí)，m（2）=e²＜9＜n（2）=11，
m=3時(shí)，m（3）=e³＞2.7³=19.86＞n（3）=18，
∴滿足條件的整數(shù)m的最大值是2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．