Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n=（2n²-n）a_n．
（1）寫(xiě)出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）歸納猜想{a_n}的前n項(xiàng)和公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得S₁，S₂，S₃，S₄．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有S_k=$\frac{k}{2k+1}$，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可

解答 解：（1）S₁=a₁=$\frac{1}{3}$，
S₂=（2×4-2）（S₂-S₁），∴S₂=$\frac{2}{5}$，
S₃=（2×9-3）（S₃-S₂），∴S₃=$\frac{3}{7}$，
S₄=（2×16-4）（S₄-S₃），∴S₄=$\frac{4}{9}$
（2）由（1）的計(jì)算可猜想S_n=$\frac{n}{2n+1}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=[2×（k+1）²-（k+1）]（S_k+1-S_k），
∴（2k²+3k）S_k+1=k（k+1），
∴S_k+1=$\frac{k+1}{2k+3}$=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，第（1）問(wèn)要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第（2）問(wèn)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．