Question

【題目】已知數(shù)列的通項公式為.求所有的正整數(shù)，使得數(shù)列的前項能分成兩部分，這兩部分的和相等.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，為等差數(shù)列，且.

要使數(shù)列前項能分為和相等的兩部分，則能被2整除.

所以，或.

（1）. 則.

由，知從這組數(shù)中抽出組作為一部分，其余的為另一部分，可使這兩部分的和相等.

（2）. 則.

設第一部分有項，第二部分有項，兩部分的和分別為、.

若，則，.

所以，即為3的倍數(shù).

又為奇數(shù)，故為奇數(shù).

設. 則，.

又 ，

，

，

從而，應滿足

.

當，且時，.

因為，將第1項和第50項交換，所以，兩部分的和相等，即將第2項至第50項分為一部分，其余的分為另一部分，則兩部分的和相等.

當，且時，可將表示為.

于是，前95項按照劃分，后項按照（1）的方法劃分. 這樣的兩部分的和相等.

綜上，.