Question

在△ABC中，內角A、B、C對邊分別是已知c+b=2+

3

，C=

π

3

，sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：根據三角形的內角和定理及誘導公式化簡sinC+sin（B-A）=2sin2A，分cosA等于0和不等于0兩種情況考慮，當cosA等于0時，得到A和B的度數(shù)，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到a=2b，c=

3

b，又c+b=2+

3

，即可求出b和c的值，根據三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；當cosA不等于0時，得到sinB=2sinA，根據正弦定理得到b與a的關系式，記作①，再根據余弦定理表示出cos

π

3

的關系式，記作②，將①代入②即可求出a與b的值，進而得到c的值，根據勾股定理的逆定理判斷得到△ABC是直角三角形，根據兩直角邊乘積的一半即可求出△ABC的面積，綜上，得到△ABC的面積的兩個值．

解答：解：由題意得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0時，則A=

π

2

，B=

π

6

，則a=2b，c=

3

b，又c+b=2+

3

，
所以b=

3 +1

2

，c=

3+ 3

2

，所以S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3+2 3

4

；
當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，①
又由余弦定理得：cos

π

3

=

a2+b2-(2+ 3 -b)2

2ab

=

1

2

，②
將①代入②，解得a=1或a=7+4

3

＞b+c=2+

3

（舍去），b=2，
此時c=

3

，所以△ABC是直角三角形，所以S_△ABC=

1

2

ac=

3

2

，
綜上，△ABC的面積為

3+2 3

4

或

3

2

．

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及三角形的面積公式化簡求值，靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．