Question

（2012•孝感模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=1，其中n∈N^*
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)T_n=

Sn

Sn+1

+

Sn+1

Sn

-2，證明：

4

3

≤T₁+T₂+T₃+…+Tn＜3．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，從而數(shù)列{

Sn

n

}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由此可得S_n=n²+n，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）T_n=

Sn

Sn+1

+

Sn+1

Sn

-2=

2

n

-

2

n+2

，利用T_n＞0及疊加法，即可證得結(jié)論．

解答：（I）解：∵點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=1，∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1
∴數(shù)列{

Sn

n

}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴

Sn

n

=2+（n-1）=n+1
∴S_n=n²+n
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，而a₁=2
∴a_n=2n；
（II）證明：∵S_n=n²+n
∴T_n=

Sn

Sn+1

+

Sn+1

Sn

-2=

2

n

-

2

n+2

，
∵n∈N^*，∴T_n＞0
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＞

4

3

∵T₁+T₂+T₃+…+T_n=2[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

2

n

-

2

n+2

）]=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3
∴

4

3

≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用求和的方法．