Question

已知函數(shù)f(x)=

(x+1)lnx

x-1

(x＞0且x≠1)
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）證明：f（x）＞2．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，可得f′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-2lnx+x-

1

x

，利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（2）原不等式可化為

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)和x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）與

x+1

x-1

同號(hào)，即

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立，進(jìn)而得到結(jié)論；

解答：解：（1）∵f(x)=

(x+1)lnx

x-1

(x＞0且x≠1)
∴f′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

令g（x）=-2lnx+x-

1

x

則g′（x）=

-2

x

+1+

1

x2

=(

x-1

x

)2
由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又∵g（1）=0
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（2）證明：原不等式就是

(x+1)lnx

x-1

-2＞0，即

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0
令h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

則h′（x）=

1

x

(

x-1

x+1

)2
∵h(yuǎn)′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又∵h(yuǎn)（1）=0
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＜0，

x+1

x-1

＜0，此時(shí)

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，

x+1

x-1

＞0，此時(shí)

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立；
∴當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，f（x）＞2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中構(gòu)造函數(shù)法屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的難點(diǎn)．