設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列（），是前項(xiàng)和. 記，，其中為實(shí)數(shù).

（1）若，且，，成等比數(shù)列，證明：；

（2）若是等差數(shù)列，證明.

 

【答案】

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【解析】

[證明]（1）由題設(shè)，，由，得，又，，成等比數(shù)列，∴，即，化簡(jiǎn)得，∵，∴.

因此對(duì)于所有的，

從而對(duì)于所有的，.

（2）設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，，

代入的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的有，

令，，，則對(duì)于所有的有，

在上式中取，

∴，

從而有，由②③得，代入①得，

從而，即，，，

若，則由得，與題設(shè)矛盾，∴，又，∴.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析轉(zhuǎn)化以及推理論證能力.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.

（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，，且、、成等比數(shù)列，證明:.

 

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設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.

（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，，且、、成等比數(shù)列，證明:.

 

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已知函數(shù)（為常數(shù)，），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

(1) 若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；                      

（2）設(shè)，如果中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和. 記，，其中為實(shí)數(shù).

(1) 若，且，，成等比數(shù)列，證明：；

(2) 若是等差數(shù)列，證明：.

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