Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+ax，x＞0}\\{0，x=0}\\{{e}^{-x}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是（　　）

• A． e
• B． $\frac{1}{e}$
• C． -$\frac{1}{e}$
• D． -e

Answer 1

分析 判斷f（x）的奇偶性，根據(jù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可知e^x+ax=0在（0，+∞）上只有一解，即直線y=-ax與y=e^x相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組解出a即可．

解答 解：若x＞0，則f（-x）=e^x+ax=f（x），
同理，當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，
又f（0）=0，∴x=0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
∵f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得e^x=-ax，
∴直線y=-ax與y=e^x相切．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=-a}\\{-a{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，
解得x₀=1，a=-e．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．