Question

【題目】

已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；

（2）若對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）（3）相等，一個.

【解析】

（1）求出在的切線，與聯(lián)立，根據(jù)切線與拋物線只有一個交點，則；（2）分，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點通過導(dǎo)數(shù)求解.

（1），

所以在處的切線為

即：

與聯(lián)立，消去得，

由知，或

（2）

①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，

，故不恒成立，所以不合題意 ；

②當(dāng)時，對恒成立，所以符合題意；

③當(dāng)時令，得，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

故在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增,

所以

又，，

綜上：

(3)當(dāng)時，

由（2）知，

設(shè)，

則，

假設(shè)存在實數(shù)，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，

令得：，

因為， 所以.

令，則，

當(dāng)是，當(dāng)時，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

,故方程有唯一解為1，

所以存在符合條件的，且僅有一個.