Question

6．已知在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，給出下列兩個命題：
①$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$，
②（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²
則下列關于以上兩個命題的真假性判斷正確的為（　�。�

• A． ①真、②真
• B． ①真、②假
• C． ①假、②假
• D． ①假、②真

Answer 1

分析 運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可判斷①；運用向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可判斷②．

解答 解：在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，
對于①，AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，可得AB⊥平面ACD，AB⊥CD，
同理可得AC⊥BD，AD⊥CB，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，故①正確；
對于②，（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²
+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²+0+0+0=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²．
故②正確．
故選：A．

點評 本題考查命題的真假的判斷，主要是向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．