【題目】如圖,曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線是以O為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A是曲線的交點(diǎn)且為鈍角,若,.

(1)求曲線的方程;

(2)過(guò)作一條與軸不垂直的直線,分別與曲線依次交于B、C、D、E四點(diǎn),若GCD中點(diǎn)、HBE中點(diǎn),問是否為定值?若是求出定值;若不是說(shuō)明理由.

【答案】(1)橢圓方程為,拋物線方程為; (2)見解析。

【解析】

1)因?yàn)樵跈E圓中2a|AF1|+|AF2|6,所以可求曲線C1方程.因?yàn)榍C2是以O為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A是曲線C1C2的交點(diǎn).|AF1||AF2|,所以利用拋物線定義,可求曲線C2方程;

2)先設(shè)出B、CD、E四點(diǎn)坐標(biāo),過(guò)F2作的與x軸不垂直的直線方程,在分別與橢圓方程,拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系,求的值,看結(jié)果是否為定值.

(1)設(shè)橢圓方程為,則,得

設(shè),,,

兩式相減得,由拋物線定義可知,

,(舍去)

所以橢圓方程為,拋物線方程為。

另解:過(guò)作垂直于x軸的直線,即拋物線的準(zhǔn)線,作AH垂直于該準(zhǔn)線,

軸于,則由拋物線的定義得

所以

,

,得,所以c=1,

,

所以橢圓方程為,拋物線方程為。

(2)設(shè),,

直線,代入得,,即,

,

同理,將代入得:

,

所以

為定值.

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2)求頂點(diǎn)BC的坐標(biāo);

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