Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是；處取得極大值，在處取得極小值.（III）。

【解析】

試題分析：（I），其中.

  因為，所以，又，所以，

  當且僅當時取等號，其最小值為. 2……………………4分

 （II）當時，，.…5分

  的變化如下表：

		0		0

 

 

 

 

 

 

 

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.……7分

函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.……8分

（III）由題意，.

不妨設(shè)，則由得. 

令，則函數(shù)在單調(diào)遞增.10分

在恒成立.

即在恒成立.

因為，因此，只需.

解得.  故所求實數(shù)的取值范圍為.  …12分

考點：基本不等式；求導公式及運算法則；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求函數(shù)的極值。

點評：構(gòu)造出函數(shù)，把證明轉(zhuǎn)化為證明在單調(diào)遞增是做本題的關(guān)鍵，運用了轉(zhuǎn)化思想，對學生的能力要求較高，是一道中檔題。