Question

已知函數(shù)．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）函數(shù)f（x）的值域恰為，試求出所有滿足條件的自然數(shù)a所構成的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數(shù)適當化簡，轉化成可利用基本不等式的形式，進而利用基本不等式可求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）首先確定a≥1，進而根據(jù)f（x）在[0，1]上單增，在[1，a]上單減，求出a的范圍即可．
解答：解：（1）時等號成立（4分）
即當x=1∈[0，2]時f（x）的最大值為（6分）
（2）假設存在這樣的自然數(shù)a滿足條件，
由（1）知當x=1時，y_max=則1∈[0，a]；所以a≥1（18分）
又f（x）在[0，1]上單增，在[1，a]上單減；且f（0）=
所以只需（11分）
解得0≤a≤3
又a≥1且a為自然數(shù)，所以a構成的集合為{1，2，3}．（13分）
點評：本題考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，考查學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．