Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求四面體B₁C₁CD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點為E，連接DE，證得DE∥AC₁；由線面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點F，可以證明DF是三棱錐D-CC₁B₁的高，再由錐體體積公式即可求解．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點為E，連結(jié)DE．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，
CC₁=BC=2，
∴四邊形BCC₁B₁為正方形．
∴E為BC₁中點．
∵D是AB的中點，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．                                                    （4分）
（Ⅱ）解：在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點F，
∵CC₁⊥平面ACB
DF?平面ACB，
∴CC₁⊥DF．
∵BC∩CC₁=C
∴DF⊥平面BCC₁B₁．
∴DF是三棱錐D-CC₁B₁的高，
∵AC=BC=CC₁=2
∴S△B1C1C=2，DF=1．
∴四面體B₁C₁CD的體積為VD-B1C1C=

1

3

S△B1C1C•h=

2

3

．                     （9分）

點評：本題考查線面平行的判定定理、空間幾何體的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．