Question

已知冪函數y=t（x）的圖象過點（2，4），函數y=f（x）的圖象可由y=t（x）的圖象向左移動

1

2

個單位并向下移動

9

4

個單位得到．
（1）求函數t（x）和f（x）的解析式；
（2）若集合A={m∈R|當x∈[-2，2]時，函數g（x）=f（x）-mx具有單調性}，集合B={m∈R|當0＜x＜

1

2

時，不等式f(x)+3＜2x+m恒成立}，求B∩（?_RA）

Answer 1

（1）設冪函數t（x）=x^α，由其圖象過點（2，4），所以，2^α=4，解得α=2．
故t（x）=x²．
把y=t（x）的圖象向左移動

1

2

個單位并向下移動

9

4

個單位，得f（x）=t（x+

1

2

）-

9

4

．
所以，f（x）=(x+

1

2

)2-

9

4

=x2+x+

1

4

-

9

4

=x2+x-2；
（2）由g（x）=f（x）-mx=x²+x-2-mx=x²-（m-1）x-2，
它的對稱軸為x=

m-1

2

，
因為函數g（x）在區(qū)間[-2，2]上具有單調性，所以

m-1

2

≤-2或

m-1

2

≥2．
解得：m≤-3或m≥5．故A=（-∞，-3]∪[5，+∞）．
再由f（x）+3＜2x+m對x∈（0，

1

2

）恒成立，得：x²+x-2+3＜2x+m對x∈（0，

1

2

）恒成立，
即m＞x²-x+1對x∈（0，

1

2

）恒成立．
令h（x）=x²-x+1，對稱軸為x=

1

2

，所以h（x）在（0，

1

2

）上為減函數，
所以h（x）＜h（0）=1．所以m≥1．故B=[1，+∞）．
所以C_RA=（-3，5），
則B∩（?_RA）=[1，+∞）∩（-3，5）=[1，5）．