Question

已知圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l₁：x-y-2=0相切，
（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為圓上一動點(diǎn)，AN⊥x軸于N，若動點(diǎn)Q滿足，（其中m為非零常數(shù)），試求動點(diǎn)Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，當(dāng)時，得到曲線C，與l₁垂直的直線l與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則，
圓C₁的方程為。  
（Ⅱ）設(shè)動點(diǎn)Q （x ，y ），，AN⊥x軸于N，，
由題意，，
所以，即：，
將代入，得。
（Ⅲ）時，曲線C的方程為，
設(shè)直線l的方程為y=-x+b，
設(shè)直線l與橢圓交點(diǎn)，
聯(lián)立方程，得，
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 116px; HEIGHT: 17px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120608/201206081010449021638.png">，解得，
且，
∵點(diǎn)O到直線l的距離，
，
∴ ，
（當(dāng)且僅當(dāng)即時取到最大值），
∴△OBD面積的最大值為。