Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0，若對一切x∈R恒成立，則
①；
②；
③f（x）是奇函數(shù)；
④f（x）的單調遞減區(qū)間是，（k∈Z）；
⑤f（x）的圖象與過點（a，|a|+|b|）的所有直線都相交．
以上結論正確的是    （寫出正確結論的編號）

Answer 1

【答案】分析：先化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得到f（）是三角函數(shù)的最大值，求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數(shù)的性質．
解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），對一切x∈R恒成立
∴sin（2×+θ）=1，即2×+θ=+2kπ
∴θ=2kπ+
∴f（x）=sin（2x+2kπ+）=sin（2x+）
對于①，f（）=sin（2×+）=0，故①正確；
對于②，f（）=sin（2×+）＜0，f（）=sin（2×+）＞0，故②正確；
對于③，f（x）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故③不正確；
對于④，+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得x∈，（k∈Z），故④正確；
對于⑤，直線與函數(shù)f（x）的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，且|a|+|b|＞，而此不等式可能成立，故f（x）的圖象與過點（a，|a|+|b|）的所有直線有直線與它不相交．
故答案為：①②④
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的性質，研究性質常用整體處理的思想方法，同時考查了分析求解的能力，屬于中檔題．