Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^2ax（a∈R）的圖象C過點P（1，e），奇函數(shù)g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的圖象為l．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若在y軸右側圖象C恒在l的上方，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若圖象C與l有兩個不同的交點A，B，其橫坐標分別是x₁，x₂，設x₁＜x₂，求證：x₁•x₂＜1．

Answer 1

分析 （1）將P（1，e）代入函數(shù)表達式，求出a的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出b的值即可；
（2）問題轉化為$k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，記$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出k的范圍即可；
（3）求出x₁•x₂的表達式，得到${x_1}{x_2}=tx_1^2=t{（{\frac{lnt}{t-1}}）^2}$，…[（13分）]要證x₁x₂＜1，即證$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，問題轉化為2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．

解答 解：（1）∵f（1）=e，
∴${e^{2a}}=e⇒a=\frac{1}{2}$，…[（2分）]，
∵g（x）=kx+b為奇函數(shù)，
∴b=0；…[（4分）]
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx，…[（5分）]
因為y軸右側圖象C恒在l的上方，
所以當x＞0時，e^x＞kx恒成立，…[（6分）]
∴$k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，…[（7分）]
記$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，則$h'（x）=\frac{x-1}{x^2}{e^x}$，
由h'（x）＞0⇒x∈（1，+∞），
∴h（x）在（0，1]單調減，在[1，+∞）單調增，…[（8分）]
h（x）∈[e，+∞），
∴k∈（-∞，e），…[（10分）]
證明：（3）由（2）知0＜x₁＜1＜x₂，設x₂=tx₁（t＞1），…[（11分）]
∵${e^{x_1}}=k{x_1}，{e^{x_2}}=k{x_2}$，
∴${e^{{x_2}-{x_1}}}=\frac{x_2}{x_1}⇒{e^{（{t-1}）{x_1}}}=t$，…[（12分）]
$（{t-1}）{x_1}=lnt⇒{x_1}=\frac{lnt}{t-1}$，
∴${x_1}{x_2}=tx_1^2=t{（{\frac{lnt}{t-1}}）^2}$，…[（13分）]
要證x₁x₂＜1，即證$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，
即證2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，
令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），即證φ（μ）＜0，
$φ'（μ）=2lnμ-2μ+2⇒φ''（μ）=\frac{2}{μ}-2=\frac{{2（{1-μ}）}}{μ}$，
∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，
∴φ'（μ）在（1，+∞）上單調減，
∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，
∴φ（μ）在（1，+∞）上單調減，
∴φ（μ）＜φ（1）=0，
所以x₁•x₂＜1…[（16分）]

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．