Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

，(a＞0，a≠1)
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
（3）求使f（x）＞0的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1x-

＞0-可求函數(shù)f（x）的定義域
（2）由（1）f（x）的定義域?yàn)椋海?1，1）可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．要證明f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，只要證明函數(shù)為奇函數(shù)即可
（3）f（x）＞0 即，loga

1+x

1-x

＞0，分類討論：①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga

1+x

1-x

＞0可得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

②當(dāng)a＞1時(shí)loga

1+x

1-x

＞0得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

，解不等式可求

解答：解：（1）

1+x

1-x

＞0，(x-1)(x+1)＜0，-1＜x＜1，所以f（x）的定義域?yàn)椋海?1，1）
證明：（2）由（1）f（x）的定義域?yàn)椋海?1，1）可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=f(x)，即f（x）=-f（-x），所以，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，因此，f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
解：（3）f（x）＞0 即，loga

1+x

1-x

＞0
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga

1+x

1-x

＞0得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

解得，-1＜x＜0．
②當(dāng)a＞1時(shí)loga

1+x

1-x

＞0得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

解得，0＜x＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域的求解，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)的應(yīng)用及奇函數(shù)的判斷，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的思想的應(yīng)用．