【題目】函數(shù)的定義域為，且對任意，有，且當(dāng)時，，

(Ⅰ)證明是奇函數(shù)；

(Ⅱ)證明在上是減函數(shù)；

(III)若,，求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(III)

【解析】

(Ⅰ)令y=-x,代入已知等式通過f(0)=0可判斷奇偶性；(Ⅱ)利用函數(shù)的單調(diào)性定義作差即可得到證明；(III)利用函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.

(Ⅰ)證明：由，

令y=-x,得f[x+(x)]=f(x)+f(x)，

∴f(x)+f(x)=f(0).

又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.

從而有f(x)+f(x)=0.∴f(x)=f(x).

∴f(x)是奇函數(shù).

(Ⅱ)任取，且，

則

由，∴∴<0.

∴>0，即，

從而f(x)在R上是減函數(shù).

(III)若，函數(shù)為奇函數(shù)得f(-3)=1,

又5=5f(-3)=f(-15),

所以=f(-15),

由得f(4x-13)<f(-15),

由函數(shù)單調(diào)遞減得4x-13>-15,解得x>-,

故的取值范圍為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知x∈（0，+∞）時，不等式9x﹣m3x+m+1＞0恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A.2﹣2 ＜m＜2+2
B.m＜2
C.m＜2+2
D.m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[2019·清遠期末]一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖如下：

溫度

20

25

30

35

產(chǎn)卵數(shù)/個

5

20

100

325

（1）根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（數(shù)字保留2位小數(shù)）；

（3）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結(jié)果保留到整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，

5

20

100

325

1.61

3

4.61

5.78

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx（﹣3≤x≤5）的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合，函數(shù)的定義域為集合.

(I)求集合.

(II)當(dāng)時，若全集，求 及；

(III)若，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ） 的部分圖象如圖所示，若 ，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則f（x1+x2）=（ ）
A.1
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）當(dāng)a=﹣3時，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（ ）
A.2014
B.2015
C.2016
D.2017

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：x∈[1，2]， ﹣lnx﹣a≥0，命題q：x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命題“p或q”是真命題，命題“p且q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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