Question

求函數(shù)y=

log

2 0.3

x-log_0.3x的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=log_0.3x，則函數(shù)t=log_0.3x為減函數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則函數(shù)等價(jià)為y=g（t）=t²-t=（t-

1

2

）²-

1

4

，
則函數(shù)的對稱軸為t=

1

2

，
當(dāng)t≥

1

2

時(shí)，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，而t=log_0.3x為減函數(shù)，∴此時(shí)函數(shù)y=

log

2 0.3

x-log_0.3x為減函數(shù)，由t=log_0.3x≥

1

2

，即0＜x＜

30

10

，故函數(shù)的減區(qū)間為（0，

30

10

），
當(dāng)t＜

1

2

時(shí)，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，而t=log_0.3x為減函數(shù)，∴此時(shí)函數(shù)y=

log

2 0.3

x-log_0.3x為增函數(shù)，由t=log_0.3x＜

1

2

，即x＞

30

10

，故函數(shù)的增區(qū)間為（

30

10

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判斷，利用換元法結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．