設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常數(shù)a，b∈R．
（I）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）設(shè)g（x）=f′（x）e-x．求函數(shù)g（x）的極值．

解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-，因此f（x）=x3-x2-3x+1
∴f（1）=-，
又∵f'（1）=2×（-）=-3，
故曲線在點（1，f（1））處的切線方程為y-（-）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x
從而有g(shù)'（x）=（-3x2+9x）e-x
令g'（x）=0，則x=0或x=3
∵當x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0，
當x∈（0，3）時，g'（x）＞0，
當x∈（3，+∞）時，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x2-3x-3）e-x在x=0時取極小值g（0）=-3，在x=3時取極大值g（3）=15e-3
分析：（I）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式，易求出導(dǎo)數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=-b，計算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）根據(jù)g（x）=f′（x）e-1求出函數(shù)g（x）的解析式，然后求出g（x）的導(dǎo)數(shù)g'（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)零點后，利用零點分段法，分類討論后，即可得到函數(shù)g（x）的極值．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及方程組的求解等有關(guān)問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x3-a，x∈[0，+∞），設(shè)x1＞0，記曲線y=f（x）在點M（x1，f（x1））處的切線l．
（1）求l的方程；
（2）設(shè)l與x軸的交點是（x2，0），證明x2≥a
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x3+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且f（-
1
2
）•f（
1
2
）＜0，則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)（　　）
A、可能有3個實數(shù)根
B、可能有2個實數(shù)根
C、有唯一的實數(shù)根
D、沒有實數(shù)根

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x3（x∈R），若0≤θ＜
π
2
時，f（m•sinθ）+f（2-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+c，又k是一個常數(shù)，已知當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根，當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，現(xiàn)給出下列命題：
（1）f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（2）f（x）=0和f′（x）=0有且只有一個相同的實根．
（3）f（x）+3=0的任一實根大于f（x）-1=0的任一實根．
（4）f（x）+5=0的任一實根小于f（x）-2=0的任一實根．
其中錯誤命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x3-
x22
-2x+a，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值的和為5，求實數(shù)a的值．

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