Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=log₂x_n，則a₁+a₂+…+a₁₅的值為

-4

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，然后得到切線的橫坐標(biāo)，利用數(shù)列的特點(diǎn)求出數(shù)列的前15項(xiàng)和．

解答：解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=（n+1）xⁿ，所以f'（1）=n+1，即在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=n+1．
所以對(duì)應(yīng)的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，解得x=

n

n+1

，即xn=

n

n+1

，
所以an=log2

n

n+1

，
所以a₁+a₂+…+a₁₅=log2

1

2

+log2

2

3

++log2

15

16

=log2(

1

2

?

2

3

?…?

15

16

)=log2

1

16

=-4．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．