Question

在三棱錐A－BCD中，AD＝BC＝1，AC＝AB＝DC＝DB＝2，求該三棱錐的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解：以點A為原點，面ABC所在平面為xOy面，將AB置于Ox軸的正半軸上，建立空間直角坐標系，如圖．AC＝AB＝2，BC＝1，易求得S△ABC＝×1×． 　　A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(，0)．設D(x，y，z)．由DA＝1得x2＋y2＋z2＝1．① 　　由DC＝2，得＝4．② 　　由DB＝2，得(x－2)2＋y2＋z2＝4．③ 　　由①③，得－4x＋4＝3，x＝．④ 　　將①④代入②，得．⑤ 　　將④⑤代入①，得＝1， 　　∴z2＝．∴D點到平面ACB的距離為，三棱錐的體積為． 　　思路分析：三棱錐的六條棱長都已知，且比較特殊，我們不難求得△ACB的面積，但點D在面ABC內(nèi)的射影位置不明顯，三棱錐的高比較難求．于是，我們以點A為原點，面ABC所在平面為xOy面，將AB置于Ox軸正半軸上，建立空間直角坐標系，問題便轉(zhuǎn)化為求點D的坐標，而這不難用兩點間的距離公式求解．

提示：

本題采用建立空間直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為求D點的坐標問題的方法，避開了邏輯推理與空間想象而進行代數(shù)運算，思路也比較自然，求解也不復雜．這種通過建立空間坐標系來解決的立體幾何問題，顯得有規(guī)律可循，而且少了立體幾何的空間想象．