Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側棱CC₁的中點．
（1）求證：CD∥平面A₁EB；
（2）求證：CD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD，根據三角形中位線定理可以證明四邊形ECOD為平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）利用線面垂直的判定定理，即可證明．

解答： 證明：（1）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD．
因為O為AB₁的中點，D為AB的中點，
所以OD∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中點，
所以EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE；
（2）因為在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側面均為正方形，D為底邊AB的中點，
所以CD⊥AB，CD⊥A₁A，
因為A₁A∩AB=A，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．

點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判斷與證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．