Question

已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時（如圖所示），求證：PA•PB=PE•PF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA的延長線上一點(diǎn)時，第（1）問的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證PA•PB=PE•PF即證

PA

PE

=

PF

PB

，觀察圖形可得：證明線段所在的兩個三角形△PAF與△PEB相似即可．再根據(jù)弦切角和平行線的性質(zhì)證出對應(yīng)角相等，利用相似三角形的判定證出△PAF∽△PEB，從而使命題得證；
（2）根據(jù)題意作出圖形，利用類似（1）的方法加以證明，即可得到第（1）問的結(jié)論仍然成立．

解答：（1）證明：∵BT為切線，BA為弦，∴∠ABE=∠C，
又∵EF∥BC，∴∠C=∠AFP，∴∠ABE=∠AFP．
∵∠APF=∠EPB，∴△APF∽△EPB，可得

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．
（2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA的延長線上一點(diǎn)時，
第（1）問的結(jié)論仍然成立．
證明：∵BT為切線，BC為弦，∴∠CBE=∠A，
∵PF∥BC，∴∠CBE=∠PEB可得∠PEB=∠A．
又∵∠EPB=∠APF，∴△APF∽△EPB，可得

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF，結(jié)論仍然成立．

點(diǎn)評：本題給出圓內(nèi)接三角形和圓的切線，求證線段的積相等．著重考查了弦切角定理、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．