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12.求y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,\frac{π}{3}]的值域.

分析 令t=sinx-cosx,由t=sin(x-\frac{π}{4}),根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得t∈[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}],將y=sinxcosx+sinx-cosx轉(zhuǎn)化為y=-\frac{1}{2}t2+t+\frac{1}{2},利用二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的取值范圍即可求得答案.

解答 解:y=sinx-cosx+sinxcosx,
令t=sinx-cosx,則sinxcosx=\frac{1-{t}^{2}}{2},
由t=sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{π}{4}),x∈[0,\frac{π}{3}],
∴t∈[-1,\frac{\sqrt{3}-1}{2}],
∴y=-\frac{1}{2}t2+t+\frac{1}{2},t∈[-1,\frac{\sqrt{3}-1}{2}],
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知其對稱軸t=1,
∴t在區(qū)間[-1,\frac{\sqrt{3}-1}{2}],單調(diào)遞增,
∴y在x∈[0,\frac{π}{3}]的值域?yàn)閇-1,\frac{3\sqrt{3}-2}{4}].

點(diǎn)評 本題考查二倍角的正弦,考查二次函數(shù)的性質(zhì),重點(diǎn)體現(xiàn)了換元法和配方法,屬于中檔題.

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