Question

17．已知函數f（x）=e|xe^x|，若函數y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三個不同的零點，則實數b的取值范圍是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-1，2$\sqrt{2}$）
• C． （1，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 函數f（x）=e|xe^x|是分段函數，通過求導分析得到函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，在（-∞，-1）上為增函數，在（-1，0）上為減函數，求得函數f（x）在（-∞，0）上，當x=-1時有一個最大值1，則要使函數y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三個不同的零點，f（x）的值一個要在（0，1）內，一個在（-∞，0）內，然后運用二次函數的圖象及二次方程根的關系列式求解b的取值范圍．

解答 解：f（x）=e|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{ex•{e}^{x}，x≥0}\\{-ex•{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當x≥0時，f′（x）=e^x+1（x+1）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，f′（x）=-e^x+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x+1（x+1）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x+1（x+1）＜0，f（x）為減函數，
∴函數f（x）=e|xe^x|的極大值為f（-1）=1．
極小值為f（0）=0．
令f（x）=m，則m²+bm-2=0．
要使函數y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三個不同的零點，
則m²+bm-2=0一根小于0，另一根大于0小于1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜0}\\{{1}^{2}+b-2＞0}\end{array}\right.$，
解得：b＞1．
∴實數b的取值范圍是（1，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了利用函數的導函數分析函數的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關鍵是分析出方程[f（x）]²+bf（x）-2=0有三個實數根時f（x）的取值情況，屬中檔題．